期中考試臨近，整個(gè)高三年級(jí)都陷入了緊張的復(fù)習(xí)氛圍中。
我卻顯得格外從容，因?yàn)閷?duì)我來(lái)說(shuō)，這些考試內(nèi)容早已爛熟于心。
不過(guò)，最近我遇到了一個(gè)新的挑戰(zhàn)。
數(shù)學(xué)競(jìng)賽的指導(dǎo)老師李教授找到了我。
"林浩，我聽(tīng)張老師說(shuō)你對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽很感興趣？"
李教授是我們市數(shù)學(xué)競(jìng)賽的總教練，曾經(jīng)培養(yǎng)出多個(gè)全國(guó)金牌選手。
"是的，李教授。我想挑戰(zhàn)更高難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題。"
"很好！"李教授滿意地點(diǎn)頭，"不過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和高考數(shù)學(xué)完全不同，需要更深層的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。你確定要走這條路嗎？"
"我確定。"
"那好，從下周開(kāi)始，你每周六下午來(lái)我的辦公室，我單獨(dú)給你輔導(dǎo)。"
太好了！
有了專(zhuān)業(yè)指導(dǎo)，我的競(jìng)賽數(shù)學(xué)水平一定能快速提升。
期中考試如期舉行。
這次考試的題目比月考更難，特別是數(shù)學(xué)卷的最后兩道題，據(jù)說(shuō)是從往年的競(jìng)賽題中改編的。
我拿到試卷，快速瀏覽了一遍。
確實(shí)，最后兩道題的難度明顯超出了普通高考水平。
第一道題：
"已知橢圓C：x2/a2 + y2/b2 = 1 (a＞b＞0)，F(xiàn)?、F?是左右焦點(diǎn)。過(guò)F?的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且∠AF?B = 90°。求橢圓離心率e的取值范圍。"
這道題綜合了解析幾何、三角函數(shù)和不等式，需要很強(qiáng)的計(jì)算能力和幾何直覺(jué)。
我開(kāi)始分析：
設(shè)直線l的方程為x = my - c（其中c是焦距的一半）
聯(lián)立橢圓方程，得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)...
通過(guò)∠AF?B = 90°的條件，建立關(guān)于m的方程...
經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算，我得出了e的取值范圍：√2/2 ≤ e ＜ 1
第二道題更加困難：
"數(shù)列{a?}滿足a? = 1，a??? = a? + 1/a?。證明：√n ＜ a? ＜ √n + 1/2√n"
這是一個(gè)遞推數(shù)列的估計(jì)問(wèn)題，需要用到數(shù)學(xué)歸納法和精細(xì)的不等式技巧。
我先研究數(shù)列的性質(zhì)：
a? = 1 a? = 1 + 1/1 = 2 a? = 2 + 1/2 = 2.5 a? = 2.5 + 1/2.5 = 2.9
可以觀察到數(shù)列是遞增的，而且增長(zhǎng)速度逐漸放緩。
對(duì)于不等式的證明，我采用數(shù)學(xué)歸納法：
首先證明a? ＞ √n...
然后證明a? ＜ √n + 1/2√n...
這需要用到一些巧妙的放縮技巧和對(duì)數(shù)列性質(zhì)的深刻理解。
經(jīng)過(guò)半個(gè)小時(shí)的推導(dǎo)，我完成了完整的證明。
【恭喜宿主解出競(jìng)賽級(jí)難題，獲得積分3000！】
【恭喜宿主解出競(jìng)賽級(jí)難題，獲得積分3000！】
兩道題都做出來(lái)了！
我檢查了一遍前面的基礎(chǔ)題，確認(rèn)沒(méi)有計(jì)算錯(cuò)誤后，提前半小時(shí)交卷。
走出考場(chǎng)，我看到其他同學(xué)都是一臉疲憊。
"林浩，最后兩道題你做出來(lái)了嗎？"王強(qiáng)問(wèn)我。
"試了試，不知道對(duì)不對(duì)。"我謙虛地說(shuō)。
"我連題目都沒(méi)看懂，"王強(qiáng)苦笑，"特別是第二道數(shù)列題，完全不知道從何下手。"
其他幾個(gè)同學(xué)也紛紛表示最后兩道題太難了。
看來(lái)這次考試的區(qū)分度會(huì)很大。
理綜考試中，我同樣遇到了幾道有挑戰(zhàn)性的題目。
物理的最后一道題是關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需要綜合運(yùn)用電場(chǎng)、磁場(chǎng)和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)。
化學(xué)有一道有機(jī)合成的推斷題，涉及到多個(gè)反應(yīng)步驟和機(jī)理分析。
生物的遺傳題考查了三因子雜交的復(fù)雜情況。
但這些對(duì)我來(lái)說(shuō)都不算太難，我都能順利解出。
語(yǔ)文和英語(yǔ)就更不用說(shuō)了，憑借我的語(yǔ)文素養(yǎng)和英語(yǔ)語(yǔ)感，基本沒(méi)有障礙。
考試結(jié)束后，我立即投入到競(jìng)賽數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。
李教授給我安排的第一次輔導(dǎo)很快到來(lái)。
"林浩，我先測(cè)試一下你的競(jìng)賽數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。"李教授拿出一道題目，"這是去年省賽的一道題，你試試看。"
題目是：
"證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)k，使得2? - 1被n整除。"
這是一道數(shù)論題，涉及到循環(huán)周期的概念。
我思考了一會(huì)兒，開(kāi)始證明：
"考慮數(shù)列：21-1, 22-1, 23-1, ...
由于這些數(shù)模n只能取0, 1, 2, ..., n-1這n個(gè)值，根據(jù)鴿籠原理，必然存在i ＜ j，使得2?-1 ≡ 2?-1 (mod n)
即2?(2???-1) ≡ 0 (mod n)
由于gcd(2?, n) = 1（當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)），所以2???-1 ≡ 0 (mod n)
因此k = j-i就是我們要找的正整數(shù)。"
"等等，"李教授打斷我，"如果n是偶數(shù)怎么辦？"
我意識(shí)到自己的證明有漏洞。
"您說(shuō)得對(duì)，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，gcd(2?, n) ＞ 1，我的證明就不成立了。"
"沒(méi)關(guān)系，這很正常。"李教授笑了笑，"競(jìng)賽數(shù)學(xué)就是這樣，需要考慮所有可能的情況。"
他繼續(xù)解釋?zhuān)?當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，可以寫(xiě)成n = 2?m，其中m是奇數(shù)。那么我們只需要證明2? ≡ 1 (mod m)，然后選擇合適的k使得2?-1被2?整除即可。"
我恍然大悟："原來(lái)如此！這需要用到費(fèi)馬小定理和歐拉定理。"
"正確！看來(lái)你的基礎(chǔ)還不錯(cuò)，但在嚴(yán)謹(jǐn)性方面需要加強(qiáng)。"
接下來(lái)的兩個(gè)小時(shí)，李教授給我講解了數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)：
同余理論、歐拉函數(shù)、原根、二次剩余...
這些都是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的重要工具。
【恭喜宿主學(xué)習(xí)高等數(shù)論，獲得積分2000！】
"林浩，競(jìng)賽數(shù)學(xué)不僅需要技巧，更需要嚴(yán)密的邏輯思維。"李教授最后說(shuō)道，"回去后多做一些數(shù)論題，下周我們講組合數(shù)學(xué)。"
走出李教授的辦公室，我感到收獲很大。
雖然我有系統(tǒng)的幫助，但專(zhuān)業(yè)的指導(dǎo)同樣重要。
李教授不僅教給我知識(shí)，更重要的是教會(huì)我如何思考。
期中考試成績(jī)很快公布了。
不出所料，我又是年級(jí)第一，總分750分，幾乎接近滿分。
更重要的是，數(shù)學(xué)150分滿分，而且李教授告訴我，我是全年級(jí)唯一一個(gè)把最后兩道競(jìng)賽題完全做對(duì)的學(xué)生。
"林浩，你的數(shù)學(xué)天賦真的很強(qiáng)。"李教授對(duì)我說(shuō)，"我決定推薦你參加明年二月的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。"
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽！
這是通往國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽的必經(jīng)之路。
如果能在聯(lián)賽中獲得好成績(jī)，就有機(jī)會(huì)進(jìn)入國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)，代表中國(guó)參加國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽。
"謝謝李教授的推薦！我一定會(huì)努力的！"
"不過(guò)，聯(lián)賽的難度比你剛才做的題目還要高很多。"李教授提醒我，"從現(xiàn)在開(kāi)始，你需要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)競(jìng)賽數(shù)學(xué)的各個(gè)分支：代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合。"
"我準(zhǔn)備好了！"
【觸發(fā)新任務(wù)：在全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中獲得一等獎(jiǎng)】
【任務(wù)獎(jiǎng)勵(lì)：50000積分】
系統(tǒng)居然發(fā)布了新任務(wù)！
50000積分的獎(jiǎng)勵(lì)讓我興奮不已。
有了這些積分，我就能購(gòu)買(mǎi)更高級(jí)的技能。
我查看了一下系統(tǒng)商城，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了全新的技能類(lèi)別：
【競(jìng)賽專(zhuān)精技能】
【數(shù)學(xué)直覺(jué)MAX：40000積分】
【邏輯推理強(qiáng)化：30000積分】
【創(chuàng)新思維：35000積分】
【解題洞察：25000積分】
看到這些技能，我更加堅(jiān)定了參加競(jìng)賽的決心。
接下來(lái)的幾個(gè)月，我將全力以赴地準(zhǔn)備數(shù)學(xué)聯(lián)賽。
不僅要保持高考成績(jī)的領(lǐng)先，還要在競(jìng)賽方面取得突破。
這將是我面臨的最大挑戰(zhàn)，也是證明自己實(shí)力的最好機(jī)會(huì)。
放學(xué)后，我給江雨薇發(fā)了消息，告訴她我要參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的事。
【真的嗎？太厲害了！】她回復(fù)道。
【你要代表學(xué)校參加全國(guó)比賽嗎？】
【是的，明年二月的全國(guó)聯(lián)賽?！?/p>
【加油！我相信你一定能拿到好成績(jī)！】
【謝謝，等你升到高三，我們一起沖刺高考?！?/p>
【嗯！我會(huì)更加努力學(xué)習(xí)的！】
看著江雨薇的鼓勵(lì)，我心中充滿了動(dòng)力。
我要在競(jìng)賽中取得優(yōu)異成績(jī)，不僅為了系統(tǒng)的獎(jiǎng)勵(lì)，更是為了證明自己的實(shí)力。
從學(xué)渣到學(xué)神，從高考尖子生到競(jìng)賽選手...
我的人生正在以不可思議的速度改變著。
而這一切，還只是開(kāi)始！